互质勾股数的一般形式

under number

in math

Published: 2016-09-18

问题

勾股数(西方叫毕达哥拉斯数)是可作为直角三角形三边长度的一组正整数,求证所有互质勾股数一定可以写成\(m^2 - n^2\)\(2mn\)\(m^2 + n^2\),其中\(m\)\(n\)均为正整数, \(m > n\)。这个问题来自Project Euler Problem 9

证明1

\(a^2 + b^2 = c^2\)\(gcd(a, b, c) = 1\)可知\(gcd(a, b) = gcd(b, c) = gcd(a, c) = 1\)

由奇偶性质判定\(a\)\(b\)\(c\)中一定有偶数个奇数,由互质进一步得出必定2奇1偶。

反证c是奇数

  • 假设\(c\)是偶数,\(a\)\(b\)是奇数,则\(a^2 = (c-b)(c+b)\)
  • 因为\(b\)\(c\)互质,且\(c-b\)\(c+b\)都是奇数,所以\(gcd(c-b ,c+b) = gcd(\frac{(c+b) + (c-b)}{2}, \frac{(c+b)-(c-b)}{2}) = gcd(c, b) = 1\)
  • 因为\(c-b\)\(c+b\)互质且乘积是完全平方数,所以这两个数都是完全平方数。
  • 因为奇完全平方数之差一定能被4整除,所以\(b = \frac{(c+b) - (c-b)}{2}\)能被2整除,与b是奇数的假设矛盾,因此c必然是奇数

用a、b和c表示m和n

不失一般性,假设\(b\)是偶数,则\(c+b\)\(c-b\)都是奇完全平方数。

\(m = \frac{\sqrt{c+b} + \sqrt{c-b}}{2}\)\(n = \frac{\sqrt{c+b} - \sqrt{c-b}}{2}\),则\(m\)\(n\)都是整数,且\(m > n\)

经验证\(m\)\(n\)\(a\)\(b\)\(c\)满足\(c = m^2 + n^2\)\(b = 2mn\)\(a = m^2 - n^2\),证毕。

证明2

Project Euler用单位圆完成了一个巧妙的证明,其思路如下:

注意\(a\)可以奇数也可以是偶数,而将斜率的最简整数比代入后求得的\(a = 2mn\)总是偶数,这就是最后需要讨论\(m\)\(n\)奇偶性的根本原因,任何互质的勾股数所对应的单位圆上的点,都存在和直线\(y = x\)对称的另一点,其中一个点\(a\)\(b\)偶,对应\(m\)\(n\)均为奇数的情况,另一个点\(a\)\(b\)奇,对应于\(m\)\(n\)一奇一偶的情况。

解答完第9个题目即可在该题的说明中看到上述证明的具体过程。

(完)